Monte Carlo 怎麼算條件機率 P(A|B)？

中級考試大概率會考程式碼跟公式，所以這部分你還是要學。但如果現在學起來很痛苦，可以先跳過，等讀完其他題目回頭再來。

Step 1　純故事版（不出現公式）

想像你是籃球場的計分員，負責記錄每次投籃。你有一本記錄簿，裡面有「是否三分球」和「是否進球」兩欄。

有人問：「已知這次是三分球，進球的機率是多少？」

你不會去數所有投籃的進球率，而是先翻到「三分球」那幾頁，再數其中進球了幾次。這就是條件機率：先縮小到已知的條件範圍，再計算目標事件的比例。

Monte Carlo 做的事情一樣：先用程式模擬大量樣本，然後數出「符合條件 B 的樣本」有多少，再數其中「同時符合 A」的有多少，兩者相除就是 P(A|B) 的估計值。

Step 2　中文 ↔ 程式碼對照

Step 3　符號角色表

• P(A|B)：條件機率：在 B 已發生的前提下，A 發生的機率
• P(A∩B)：聯合機率：A 和 B 同時發生的機率
• P(B)：邊際機率（marginal probability）：B 發生的機率，不論 A
• A_and_B.sum()：A 和 B 同時為 True 的樣本數，近似 n×P(A∩B)
• B.sum()：B 為 True 的樣本數，近似 n×P(B)
• n：總模擬次數（10 萬），n 越大估計越準確

Step 4　完整公式對應

條件機率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

骰子理論值：
  P(A) = 3/6 = 0.5        （偶數：2, 4, 6）
  P(B) = 3/6 = 0.5        （大於3：4, 5, 6）
  P(A∩B) = 2/6 ≈ 0.333   （偶數且大於3：4, 6）
  P(A|B) = (2/6) / (3/6) = 2/3 ≈ 0.667

程式碼估計（10萬次模擬）：
  A_and_B.sum() ≈ 33,333
  B.sum()        ≈ 50,000
  P(A|B) ≈ 33,333 / 50,000 ≈ 0.667  ✓ 與理論值吻合

選項 A：A_and_B.sum() / (A.sum() * B.sum())
  分母 ≈ 50,000 × 50,000 = 2.5 × 10⁹  → 結果接近 0，無意義
選項 B：A_and_B.sum() / (A.sum() + B.sum())
  分母 ≈ 100,000  → 實際算的是 P(A∩B)，不是條件機率
選項 C：A_and_B.sum() / A.sum()
  ≈ 33,333 / 50,000 ≈ 0.667  → 這是 P(B|A)，條件反了

Step 5　自我複述

1. P(A|B) 和 P(B|A) 有什麼差異？請各舉一個生活例子。
2. 如果把程式碼的 B.sum() 改成 n，算出的是什麼機率？
3. 為什麼選項 C 算出來的數字和正解 D 接近（都約 0.667），但意義完全不同？
4. Monte Carlo 的估計值和理論值為什麼不會完全相同？n 增大時會怎樣？
5. np.random.seed(123) 的作用是什麼？去掉會怎樣？