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TL;DR： 用有向無環圖與條件機率表表示變數間依賴關係的概率圖模型，支援推論與學習。
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用有向無環圖與條件機率表表示變數間依賴關係的概率圖模型，支援推論與學習。
貝葉斯網路（Bayesian Networks）是現代概率推理的基礎框架，在人工智慧、醫療診斷、金融風控、程序設計等領域廣泛應用。貝葉斯網路將複雜的機率問題轉化為圖形表示與局部計算，使得大規模推理變得計算可行。
有向無環圖與條件獨立性
貝葉斯網路的結構由三部分組成：節點代表隨機變數，有向邊代表直接依賴關係，缺少邊意味著條件獨立性。例如，醫療診斷的貝葉斯網路可能包含節點「疾病」「症狀 A」「症狀 B」「檢驗結果」；邊「疾病 → 症狀 A」表示疾病直接導致症狀 A；「疾病」同時作為「症狀 A」「症狀 B」的父節點，表示給定疾病狀態，兩種症狀在條件上獨立（一症狀出現不增加另一症狀出現的概率，因為已知疾病了）。
DAG 的重要性質是「馬可夫毯」（Markov Blanket）：給定一個節點的馬可夫毯（其父節點、子節點與子節點的其他父節點），該節點與網路其他部分條件獨立。這個性質使得推論能侷限於局部範圍，大幅降低計算成本。
條件機率表與因子分解
DAG 結構定義後，貝葉斯網路透過條件機率表（CPT）指定具體的機率量。對於每個節點 V_i，需定義 P(V_i | PA_i)，其中 PA_i 是其父節點。整個網路的聯合分布能表示為：
P(V₁, V₂, ..., Vₙ) = ∏ᵢ P(Vᵢ | PAᵢ)
例如，疾病網路 P(D, A, B, T)（D=疾病, A=症狀A, B=症狀B, T=檢驗結果）在結構 D → A, D → B, D → T 下，聯合分布為： P(D, A, B, T) = P(D) × P(A | D) × P(B | D) × P(T | D)
這個因子分解是貝葉斯網路的核心優勢：當 CPT 中多數條目為 0 或重複時（實際應用中常見），存儲與計算都比完整的聯合分布表高效得多。
機率推論
給定觀測證據 E（例如患者症狀），貝葉斯網路能計算後驗分布 P(Query | E)，進行所謂的「診斷推論」。例如，若患者表現症狀 A 與 B，推論系統計算 P(疾病 | 症狀 A, 症狀 B)。
推論方法包含：
精確推論（Exact Inference）：對於小規模網路，可用變數消元法（Variable Elimination）或信念傳播（Belief Propagation）精確計算。變數消元利用因子分解與條件獨立性，逐步消除不相關變數，時間複雜度取決於網路的樹寬度。
近似推論（Approximate Inference）：對於大規模、複雜網路，精確推論計算量過大。常用方法包含吉布斯採樣（Gibbs Sampling）、變分推論（Variational Inference）等，在精確性與計算成本間取捨。
參數學習
若網路結構已知但 CPT 參數未知，可從資料中學習。簡單情況下（完全觀測資料），參數估計就是計算經驗條件機率：
P̂(Vᵢ | PAᵢ = pAᵢ) = Count(Vᵢ, PAᵢ = pAᵢ) / Count(PAᵢ = pAᵢ)
當資料不完全（含缺失值）時，常用期望最大化（EM）演算法迭代估計。
結構學習
真實應用中常需從資料推導網路結構本身。這是更困難的問題，因為可能的 DAG 數量隨節點數指數增長。常用方法包含：
評分搜尋（Score-and-Search）：定義評分函數（如貝葉斯資訊準則 BIC），搜尋使評分最高的結構。
約束型學習（Constraint-based Learning）：基於資料中觀測到的條件獨立性判斷，推導相容的 DAG 類別。
因果性與相關性的混淆
貝葉斯網路的圖結構能代表因果關係，但也能代表純相關結構。例如，結構 A → B 與 A ← B 在資料協方差上無區別，都能產生相同的邊際機率分布。因此，不能單純從資料推導出唯一的因果 DAG，必須結合領域知識或實驗干預才能確定因果方向。這是「馬可夫等價性」（Markov Equivalence）問題：多個不同的 DAG 可能對應同一個概率分布。
應用場景
- 醫療診斷：根據症狀與檢驗結果推導疾病概率，是貝葉斯網路的經典應用。
- 故障診斷：工業設備中，根據多個感測器信號推斷故障原因。
- 垃圾信件過濾：根據郵件特徵（詞頻、發件人等）判別垃圾郵件概率。
- 決策支持：在不確定環境下，計算各決策選項的期望效用。
- 知識圖表示：貝葉斯網路可在知識圖中編碼實體與關係的不確定性。
在 iPAS AI 應用規劃師考試中，貝葉斯網路是概率圖模型與推理的重要考點，要求理解網路結構與條件獨立性的關係、精確與近似推論的原理、參數與結構學習的方法，以及因果性與相關性的區別。
常見問題
貝葉斯網路的箭頭一定代表因果關係嗎？
不一定。貝葉斯網路的箭頭在數學上只代表條件依賴（或說父節點與子節點不條件獨立），不一定是因果關係。例如，結構 P(A, B, C) = P(A) × P(B | A) × P(C | A) 表示 B 與 C 都依賴 A，箭頭可以是 A → B 與 A → C（A 因果影響 B 與 C），也可以是相反方向 B → A 與 C → A（B 與 C 都導致 A），只要滿足聯合分布的因子分解就行。從資料上看，兩種因果結構可能無法區分。因此，貝葉斯網路是純粹的概率模型，要判定箭頭是否代表因果必須結合領域知識或實驗干預。在應用時，若要進行因果推理，應明確陳述哪些箭頭被解釋為因果，並提供理由。
大規模貝葉斯網路的推論有多慢？
這取決於網路的拓撲結構。若網路是樹狀（tree-structured，每個節點最多一個父節點），推論時間與節點數成線性關係，非常高效。但對於含有許多父節點或環結構（不是 DAG）的網路，精確推論可能指數級複雜。實踐中，大規模網路（數千個節點）通常無法進行精確推論，轉而使用近似方法如採樣、變分推論或啟發式方法。另一個策略是利用網路的結構稀疏性：在馬可夫毯內進行局部推論，不需處理整個網路，可大幅加速。現代軟體庫（如 PyMC、Stan、pgmpy）提供了高效的推論引擎，自動選擇適切的算法。
貝葉斯網路和深度學習的生成模型（如生成對抗網路）有什麼區別？
兩者都是概率模型，但應用與計算方式不同。貝葉斯網路對變數間的依賴關係做了明確的圖形化假設，導致聯合分布能因子分解為小規模條件分布的乘積，便於推論與解釋，但假設過於簡單時可能無法捕捉複雜的高維資料結構。深度生成模型（如 VAE、GAN）利用深層神經網路學習高維資料的複雜非線性變換，能表達極其複雜的分布，但模型結構不透明，難以進行明確的因果推理或符號化查詢。貝葉斯網路適合小規模、需要推理與可解釋性的問題；深度模型適合大規模高維資料的生成任務。兩者也可融合（如構築貝葉斯深度網路），以期兼得兩者優勢。