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TL;DR： 四分位距（Interquartile Range, IQR）是第三四分位數（Q3）與第一四分位數（Q1）的差值，代表資料中間 50% 的分布範圍，常用於穩健的異常值偵測，不受極端值影響。
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四分位距（Interquartile Range, IQR）是第三四分位數（Q3）與第一四分位數（Q1）的差值，代表資料中間 50% 的分布範圍，常用於穩健的異常值偵測，不受極端值影響。
核心概念
四分位距（Interquartile Range, IQR）是描述性統計中衡量資料分散程度的穩健指標。它聚焦於資料的「中間半段」，定義為：
IQR = Q3 − Q1
其中：
- Q1（第一四分位數）：25% 的資料落於此值以下
- Q3（第三四分位數）：75% 的資料落於此值以下
IQR 代表了資料集中間 50% 的寬度，又稱為「中位距」或「H-spread」。
運作原理
計算步驟：
- 將資料由小到大排序
- 找到中位數（Median, Q2）
- Q1 = 下半段資料的中位數
- Q3 = 上半段資料的中位數
- IQR = Q3 − Q1
IQR 異常值偵測法則（Tukey's Fences）：
統計學家 John Tukey 定義了兩組邊界：
- 內圍欄（Inner Fences）：[Q1 − 1.5×IQR, Q3 + 1.5×IQR]
- 外圍欄（Outer Fences）：[Q1 − 3×IQR, Q3 + 3×IQR]
落在內圍欄之外的點標記為「疑似異常值」，落在外圍欄之外的點標記為「極端異常值」。這個方法的優點是不假設資料服從特定分布。
為何 IQR 比標準差更穩健？
標準差計算依賴每個資料點，一個極端的異常值可以大幅拉高標準差，導致後續基於「均值 ± k 個標準差」的異常偵測閾值整體偏移，讓更多正常點被錯誤標記。IQR 只使用排序位置，對極端值完全不敏感。
從崩潰點（Breakdown Point）的角度看，標準差的崩潰點為 0%（即使只有一個極端值就會失效），而 IQR 的崩潰點為 25%（需要超過 25% 的資料被汙染才會使估計失效）。
實際應用
探索性資料分析（EDA）中的箱形圖
箱形圖（Box Plot）是 IQR 最直觀的視覺化工具：
- 箱體的上下邊界分別對應 Q3 和 Q1
- 箱體內的橫線為中位數 Q2
- 鬚（Whisker）延伸到內圍欄邊界
- 超出鬚的點以單獨的點標示，即異常值
資料清洗流程
在機器學習的前處理中，可以用 IQR 法自動標記並處理異常值：
import pandas as pd
def remove_outliers_iqr(df, column, factor=1.5):
Q1 = df[column].quantile(0.25)
Q3 = df[column].quantile(0.75)
IQR = Q3 - Q1
lower = Q1 - factor * IQR
upper = Q3 + factor * IQR
return df[(df[column] >= lower) & (df[column] <= upper)]
穩健標準化（Robust Scaling）
Scikit-learn 的 RobustScaler 使用 IQR 進行特徵縮放：
縮放後的值 = (x − Q2) / IQR
這種縮放方式對異常值不敏感，特別適合包含離群值的資料集，常用於信用評分、醫療數據等高雜訊場景。
監控模型飄移
在 MLOps 中，可定期計算生產環境輸入特徵的 IQR，並與訓練時的 IQR 比較。若某特徵的 IQR 出現顯著變化，可能代表資料分布發生漂移（Data Drift），需要重新訓練模型。
常見誤區
誤區一：IQR 法則是萬用的異常值偵測標準 IQR 法則基於近似正態分布的假設設計（對於常態分布，約 0.7% 的資料會被標記為異常）。對於右偏嚴重（如收入、網站流量）或雙峰分布的資料，1.5×IQR 可能過於嚴格或過於寬鬆，需要根據領域知識調整係數。
誤區二：移除所有 IQR 異常值就是好的資料清洗 異常值不一定是錯誤，它們可能是真實的極端事件（詐欺交易、稀有疾病、市場崩盤），有時恰恰是分析的核心目標。移除前應先理解異常值的業務含義。
誤區三：IQR 適用於所有類型的資料 IQR 只有在資料可排序時才有意義，適用於連續型或有序類別型資料，不適用於名目類別資料（如顏色、城市名稱）。
與相關技術的比較
| 指標 | 計算基礎 | 對異常值的穩健性 | 假設分布 | 適用場景 |
|---|---|---|---|---|
| IQR | 分位數差 | 高（崩潰點 25%） | 無 | 偏斜或含異常值資料 |
| 標準差（SD） | 均值離差 | 低（崩潰點 0%） | 常態 | 近常態分布的資料 |
| MAD（中位數絕對偏差） | 中位數離差 | 極高（崩潰點 50%） | 無 | 高汙染率資料 |
| Z-score | 均值+SD | 低 | 常態 | 快速識別偏差極大的點 |
IQR 在穩健性與計算複雜度之間取得良好平衡，是資料科學日常工作中最常用的穩健離散度指標。
常見問題
IQR 異常值偵測的 1.5 係數是怎麼來的？可以改嗎？
1.5 係數由統計學家 John Tukey 經驗性地選定：對於完全常態分布的資料，使用 1.5×IQR 作為邊界時，約 0.7% 的資料點會被標記為異常，這在實務上提供了合理的敏感度。係數完全可以根據應用場景調整：信用卡詐欺偵測可能需要更敏感的 1.0×IQR；而醫學數據或工業感測器資料可能有真實的極端值，使用 3×IQR 更為合適。調整係數前應先了解資料的分布形態與業務定義的「異常」含義。
Scikit-learn 的 RobustScaler 與 StandardScaler 該怎麼選？
若資料中存在明顯的異常值且無法提前移除，選 RobustScaler：它使用 IQR 和中位數進行縮放，異常值不會扭曲縮放參數，特徵之間的相對尺度更穩健。StandardScaler 使用均值和標準差，適合已確認接近常態分布且無顯著異常值的資料。在實務中，可先畫箱形圖觀察資料分布，若存在明顯的離群點，優先考慮 RobustScaler 或先清洗異常值再用 StandardScaler。
IQR 和標準差在 iPAS 考題中的主要考點是什麼？
iPAS 題目中，IQR 的考點集中在兩個方向：其一是理解 IQR 的計算方式（Q3-Q1）及其在箱形圖中的視覺對應；其二是掌握 IQR 作為穩健統計指標的核心優點，即不受極端值影響。常見題型為「以下哪種方法對異常值最不敏感」，答案通常是 IQR 或基於 IQR 的方法（如 RobustScaler、Tukey's fences），而標準差或均值為基礎的方法則是干擾選項。