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TL;DR： 在支援向量機等演算法中，將低維資料映射到高維特徵空間的函數，使原本線性不可分的問題變得可分。
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在支援向量機等演算法中，將低維資料映射到高維特徵空間的函數，使原本線性不可分的問題變得可分。
核函數的誕生源於一個基本問題：許多現實世界的分類或迴歸任務在原始特徵空間中無法用直線（或超平面）分開，但如果將資料映射到更高維度的空間，往往就能找到分割超平面。問題是，如果直接計算高維映射，計算成本會隨維度指數級增長，甚至在無限維空間中根本無法顯式計算。核技巧的精妙之處在於：許多演算法（尤其是 SVM）實際上只需要計算樣本之間的內積，而不需要知道每個樣本的具體座標。核函數 K(x, y) = φ(x)·φ(y) 直接計算映射後的內積，繞過了顯式計算高維座標的步驟。
最常用的核函數有四種類型。線性核（Linear Kernel）K(x, y) = x·y 其實就是原始內積，對應不做任何映射，適用於資料本身就線性可分的情況，計算成本最低。多項式核（Polynomial Kernel）K(x, y) = (γx·y + r)^d 能建模特徵之間的交互效應，d 是多項式次數，d=2 時能捕捉所有二次交互特徵（x1·x2、x1²、x2² 等）。徑向基函數核（RBF Kernel，又稱高斯核）K(x, y) = exp(-γ||x-y||²) 是最廣泛使用的核，對應無限維特徵空間的映射，γ 參數控制「影響範圍」，γ 大時每個訓練樣本只影響鄰近的預測，γ 小時影響範圍廣。Sigmoid 核 K(x, y) = tanh(γx·y + r) 與神經網路的激活函數形式相似，但在 SVM 中使用較少。
核函數需要滿足 Mercer 定理（Mercer's Theorem）：核矩陣（Gram Matrix）必須是正定矩陣，才能保證對應到某個高維特徵空間的合法內積運算。這個數學條件確保核函數定義的「相似度」具有幾何上的一致性，也保證 SVM 的凸優化問題有唯一解。
在 SVM 的訓練過程中，核函數的選擇直接決定決策邊界的形狀。線性核產生線性決策邊界；RBF 核能產生任意形狀的非線性邊界，理論上能近似任何決策邊界（只要訓練樣本足夠且 γ 適當）。選擇核函數時，通常先嘗試線性核（特別是特徵維度高、樣本量大的 NLP 任務），再嘗試 RBF 核（大多數低維非線性任務的預設選擇），並用交叉驗證調整超參數（C 懲罰係數與 γ）。
在 AI 領域的現代應用中，核方法雖然在深度學習時代不再是主流，但在若干場景仍有重要地位。小樣本情況（訓練資料少於數千筆）下，SVM + RBF 核往往比深度神經網路更穩健，因為 SVM 的優化問題有全局最優解，不會陷入局部極小值。核方法在生物資訊學（蛋白質序列分類）、訊號處理、金融時間序列異常偵測等領域持續被使用。此外，核的思想也滲透到現代深度學習理論：Neural Tangent Kernel（NTK）研究發現，無限寬度神經網路的訓練動態等價於一種核迴歸，這條理論連接幫助研究者更深入理解深度學習的泛化機制。
iPAS 考試中核函數的考點集中在：識別各種核函數的數學形式與對應的特徵空間特性、RBF 核的超參數 γ 如何影響決策邊界的複雜度（γ 大 = 過擬合風險高、γ 小 = 欠擬合風險高）、核技巧的意義（避免顯式計算高維映射）、以及在給定情境（如資料分布呈同心圓形狀）中選擇最適合的核函數。
即使在深度學習主導的今天，核函數的概念依然在理解模型相似度計算、向量空間映射等核心問題上提供重要的理論框架，是 AI 從業者理解機器學習基礎原理不可跳過的知識模組。核方法的思想也啟發了現代 Transformer 注意力機制的設計，兩者在衡量元素間相似度的本質上有深刻的共通之處。 核函數（Kernel Function）是支援向量機（SVM）和高斯過程等算法的核心組件，透過「核技巧」（Kernel Trick）解決線性模型無法處理非線性資料的問題。
核技巧的精妙之處在於：它允許算法在高維特徵空間中計算內積，而無需顯式地計算每個樣本在高維空間中的座標。這意味著模型可以在理論上無限維的特徵空間中執行，而實際計算成本只取決於訓練樣本數量，而非特徵維度。
常見核函數各有適用場景。多項式核（Polynomial Kernel）適合處理圖像分類等特徵間存在乘法交互作用的問題；RBF 核（Radial Basis Function，又稱高斯核）是最廣泛使用的核函數，對連續光滑的決策邊界效果尤佳，只有一個超參數 γ 控制決策邊界的複雜度；Sigmoid 核在行為上類似神經網路的啟動函數，但在 SVM 中較少使用。
在核方法的理論框架（Mercer 定理）下，有效的核函數必須對應某個特徵空間中的內積，即對應的 Gram 矩陣必須是半正定矩陣。這個性質保證了優化問題的凸性，使得 SVM 訓練能找到全局最優解。
近年來，核方法也與深度學習有了新的交集。神經切線核（Neural Tangent Kernel, NTK）理論揭示了無限寬神經網路與核方法之間的等價性，為理解深度學習的泛化機制提供了新視角。
常見問題
為什麼需要核函數？直接增加特徵維度不行嗎？
直接增加特徵維度（如手動計算所有二次交叉特徵）在理論上可行，但實際上計算成本極高。假設原始特徵有 p 個維度，計算所有二次交叉項就需要 O(p²) 個新特徵，三次就是 O(p³)，更高次數快速變得不可行。對 RBF 核對應的無限維映射而言，顯式計算根本不可能。核技巧的價值在於：SVM 只需要計算樣本對之間的內積，而不需要知道每個樣本在高維空間的確切座標。核函數直接輸出這個內積值，讓計算複雜度從特徵維度轉移到樣本數量，使得高維甚至無限維的特徵映射在計算上變得可行。
RBF 核的 γ 參數怎麼選，過大或過小會有什麼問題？
γ 控制 RBF 核的「影響範圍」：γ 大表示核函數衰減快，每個訓練樣本只對距離非常近的測試點有影響，決策邊界複雜、彎曲，容易過擬合訓練資料但在測試集泛化差。γ 小表示衰減慢，每個訓練樣本的影響延伸到很遠的地方，決策邊界平滑，可能欠擬合。選擇 γ 的標準做法是交叉驗證（Cross-Validation）：在對數尺度（如 10^-4 到 10^4）上格點搜索，搭配 SVM 的 C 懲罰參數一起調整，找到驗證集準確率最高的組合。sklearn 的 GridSearchCV 可以自動化這個流程。
在 iPAS 考試中，核函數考題怎麼判斷要選哪個核？
iPAS 考題判斷核函數選擇，通常依據資料分布的描述或圖形。若資料點可以用直線分開，選線性核；若資料呈非線性分布（圓形、XOR 型、複雜邊界），選 RBF 核；若題目強調特徵交互效應或多項式關係，選多項式核。常見陷阱題型是描述「資料從核心向外呈環狀分布」（同心圓）：這種情況線性核完全無法分割，RBF 核可以輕鬆處理。另一類考題是給出 γ 值的不同情境，要求判斷決策邊界的複雜度：大 γ = 複雜邊界（過擬合傾向）、小 γ = 平滑邊界（欠擬合傾向）。