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TL;DR： 包含多個自變數及其偏導數的方程式，廣泛用於描述物理現象，近年成為科學機器學習的核心研究對象。
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包含多個自變數及其偏導數的方程式，廣泛用於描述物理現象，近年成為科學機器學習的核心研究對象。
偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是數學物理的核心語言，也是近年科學機器學習（Scientific Machine Learning）最活躍的研究前沿之一。理解 PDE 在 AI 中的地位，需先掌握其數學本質，再深入了解 AI 如何改變 PDE 的求解方式。
PDE 的數學定義：含有多個自變數（如空間座標 x, y, z 和時間 t）及未知函數對這些自變數偏導數的方程式。最著名的 PDE 包括：熱傳導方程（∂u/∂t = α∇²u，描述熱量在介質中的擴散）、波動方程（∂²u/∂t² = c²∇²u，描述波的傳播）、Navier-Stokes 方程（描述黏性流體運動）、以及 Schrödinger 方程（描述量子力學中的波函數演化）。這些方程是航空、氣象、核能、半導體、生物力學等幾乎所有工程科學領域的計算基礎。
傳統 PDE 求解方法包括有限差分法（Finite Difference Method，FDM）、有限元素法（Finite Element Method，FEM）、以及有限體積法（FVM）。這些數值方法的核心思路是將連續問題離散化，在網格點上求解。它們的主要限制是：高維問題的計算量隨維度呈指數成長（維度詛咒，curse of dimensionality），以及需要對問題域進行精確的網格劃分，在複雜幾何形狀或動態邊界問題上成本極高。
AI 求解 PDE 的革命性突破來自物理知識融合神經網路（Physics-Informed Neural Networks，PINN）。PINN 的核心思想是：用神經網路近似 PDE 的解函數 u(x, t)，訓練時的損失函數不僅包含資料擬合項（如已知的邊界條件和初始條件），還包含 PDE 殘差項（在隨機採樣的配點上計算神經網路輸出是否滿足 PDE 方程式）。透過最小化這個組合損失，神經網路被「物理定律」約束，即使在無標記資料的配點上也能學習符合物理規律的解。
PINN 的優勢在於：無需網格（meshfree）使其天然適合複雜幾何；對高維問題的縮放性遠優於有限元素法；能夠融合資料驅動（觀測數據）與物理先驗（方程式），特別適合資料稀疏的科學場景；以及一個訓練好的神經網路可以在整個連續定義域上評估，不受離散網格限制。
除 PINN 外，神經算子（Neural Operators）是另一個主流研究方向。傳統神經網路學習函數到數值的映射；神經算子學習函數空間之間的映射，例如學習「給定任意初始條件，輸出對應的 PDE 解函數」。代表性模型包括 DeepONet（Deep Operator Network）和 FNO（Fourier Neural Operator）。FNO 在傅里葉空間執行全局卷積，在流體力學和氣象模擬等問題上達到比傳統方法快數個數量級的推論速度，同時保持相近的精度。
PDE 在 AI 研究論文中的出現頻率反映了科學 AI（AI for Science）這個新興領域的崛起。氣候建模、藥物分子動力學模擬、材料設計、金融衍生品定價（Black-Scholes 方程）等領域都有大量以神經網路求解 PDE 的工作。
對 AI 從業者而言，理解 PDE 的意義不在於手算方程式，而在於掌握：物理系統的連續動態如何用 PDE 描述、PINN 如何將物理方程式嵌入損失函數、以及神經算子如何實現跨條件的快速推論。這些知識對於投入科學 AI 研究或將機器學習應用於工程模擬的從業者至關重要。 偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是描述多個自變數的函數及其偏導數之間關係的方程，是物理學、工程學和數學的基礎工具。在 AI 和機器學習領域，PDE 的求解和發現正成為科學機器學習（Scientific ML）的核心研究方向。
PDE 在科學計算中無處不在：Navier-Stokes 方程描述流體動力學；熱方程描述熱量擴散；波動方程描述聲波和電磁波傳播；薛丁格方程描述量子系統的演化。傳統數值方法（有限差分、有限元素法）求解這些方程需要大量計算資源，且難以推廣到新的邊界條件。
物理資訊神經網路（Physics-Informed Neural Networks, PINN）是近年最受矚目的 AI 求解 PDE 方法。PINN 將 PDE 的殘差（方程左右兩端之差）直接嵌入神經網路的損失函數，同時利用邊界和初始條件約束，讓神經網路在滿足物理方程的同時擬合觀測資料。這種方法能在觀測資料稀疏時依然提供合理的物理一致性解。
神經算子（Neural Operator）是另一個重要方向，代表性工作包括 DeepONet 和 Fourier Neural Operator（FNO）。這些方法學習從一組函數（如輸入條件）到另一組函數（如解）的映射，一旦訓練完成，可在毫秒內推算出傳統求解器需要數小時才能得到的 PDE 解，且能泛化到不同的邊界條件。
從 PDE 中發現物理定律（PDE 發現）也是活躍的研究領域。SINDy（Sparse Identification of Nonlinear Dynamics）等方法從觀測資料中自動識別最能描述系統動力學的 PDE，有助於科學家從實驗資料中提取物理洞見。
常見問題
偏微分方程和 AI 有什麼關聯？
PDE 與 AI 的交叉點主要體現在兩個方向。第一是用 AI 求解 PDE：傳統數值方法（有限差分、有限元素）在高維問題（如高維金融模型、量子化學）上計算成本呈指數增長，物理知識融合神經網路（PINN）和神經算子（FNO、DeepONet）提供了一類能在高維空間高效近似 PDE 解的深度學習方法，在流體模擬、氣候預測、材料設計等領域展現出顯著的速度優勢。第二是 PDE 作為 AI 模型的設計靈感：擴散模型（Diffusion Models）的數學框架本質上是一個隨機微分方程（SDE），連續正規化流（Continuous Normalizing Flows）用常微分方程描述資料分佈的連續轉換。這些以微分方程為基礎設計的生成模型在影像生成、科學模擬等任務中取得了突出成果，使得 PDE 成為現代 AI 研究不可迴避的數學背景知識。
什麼是 PINN（Physics-Informed Neural Networks）？
物理知識融合神經網路（PINN）是一種將物理定律以損失函數約束形式嵌入神經網路訓練過程的方法，由 Raissi 等人於 2019 年在 Journal of Computational Physics 發表的論文中系統性提出。訓練 PINN 時，損失函數由三部分組成：邊界條件損失（在定義域邊界上神經網路輸出應滿足給定的邊值條件）、初始條件損失（在時間起點上應滿足給定的初始狀態）、以及 PDE 殘差損失（在定義域內部隨機採樣的配點上，對神經網路輸出計算偏導數並代入 PDE 方程式，殘差應趨近於零）。優化這個組合損失函數，使神經網路的輸出函數同時符合觀測數據和物理定律。相比純資料驅動方法，PINN 在訓練數據極少的情況下也能生成物理一致的解；相比傳統數值求解器，PINN 無需網格且能自然處理高維問題。主要挑戰包括訓練不穩定性和多損失項的權重平衡問題。
沒有深厚數學背景的 AI 工程師需要學 PDE 嗎？
這取決於工作領域。對於大多數以 NLP、推薦系統、電腦視覺為主的 AI 工程師，PDE 的直接應用較少，不需要深入掌握偏微分方程的分析解法或數值方法細節。然而，若工作涉及以下任一領域，PDE 知識會有顯著價值：科學 AI（AI for Science）：如生物醫學模擬、氣候建模、材料設計；工程模擬：如流體力學、結構分析、熱傳導的深度學習加速；以及生成模型研究：理解擴散模型（Stable Diffusion 等）的數學基礎需要隨機微分方程知識，而隨機微分方程是 PDE 的延伸。對這些方向有興趣的從業者，建議至少掌握：PDE 的基本概念（偏導數、邊值問題、典型方程式類型）、PINN 的損失函數設計邏輯、以及神經算子（如 FNO）的基本工作原理，而無需能手推偏微分方程的解析解。