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TL;DR： 降維後每個主成分解釋原始資料總變異量的比例，用於評估降維結果保留了多少資訊。
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降維後每個主成分解釋原始資料總變異量的比例，用於評估降維結果保留了多少資訊。
Explained Variance Ratio（解釋方差比，又稱解釋變異比例）是主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）的核心評估指標，幫助研究者和工程師理解降維操作的資訊保留程度。
數學定義
在 PCA 中，原始 d 維資料的協方差矩陣（Covariance Matrix）的特徵值分解得到 d 個特徵值 λ₁ ≥ λ₂ ≥ ... ≥ λd 及對應的特徵向量。每個特徵值代表對應主成分的方差（變異量）。
第 i 個主成分的解釋方差比定義為：
Explained Variance Ratio(i) = λᵢ / Σⱼ λⱼ
即第 i 個特徵值佔所有特徵值總和的比例。
累積解釋方差比（Cumulative Explained Variance Ratio）為前 k 個成分的解釋方差比之和：
Cumulative EVR(k) = Σᵢ₌₁ᵏ λᵢ / Σⱼ λⱼ
選擇主成分數量的策略
門檻法（Threshold Method）：選取能解釋一定比例（如 90%、95%、99%）總變異量的最少主成分數。這是最常用的方法，具體門檻取決於應用場景對資訊損失的容忍度。
碎石圖法（Scree Plot）：繪製各主成分的解釋方差比或特徵值折線圖，在曲線出現「手肘」（elbow）的地方截斷，保留曲線明顯下降的主成分。
Kaiser 準則：在相關係數矩陣的 PCA 中，保留特徵值大於 1 的成分（代表該成分解釋的方差超過任何單一原始變數）。
在不同降維技術中的應用
PCA（主成分分析）：Explained Variance Ratio 是 PCA 的原生指標，scikit-learn 的 PCA 實作直接提供 explained_variance_ratio_ 屬性。
Truncated SVD / LSA：用於稀疏矩陣（如文字的 TF-IDF 矩陣），解釋方差比的概念同樣適用，計算方式為奇異值平方的比例。
Factor Analysis（因子分析）：每個因子的解釋方差比有類似含義，但因子分析假設存在潛在隱藏因子，與 PCA 在數學基礎上有所不同。
t-SNE / UMAP：這兩種非線性降維方法不保留全域方差結構，無法定義有意義的 Explained Variance Ratio，通常透過重建誤差（reconstruction error）或 Trustworthiness 指標評估。
實務應用場景
- 特徵工程前處理：在高維資料（如影像像素、基因表達資料）上應用 PCA，選取能解釋 95% 方差的主成分，顯著減少訓練時間同時保留主要資訊。
- 視覺化：將高維資料降至 2 或 3 個主成分做視覺化，通常會報告這 2-3 個成分的累積解釋方差比，讓讀者了解視覺化損失了多少資訊。
- 多重共線性處理：在迴歸分析中，若特徵間高度相關，先用 PCA 降維並保留主要主成分（Principal Component Regression），降低多重共線性影響。
- 人臉辨識（Eigenfaces）：早期人臉辨識系統用 PCA 將人臉影像降維，解釋方差比幫助決定保留多少「特徵臉」。
解讀注意事項
Explained Variance Ratio 高不等於降維結果對下游任務（如分類、迴歸）有益。保留 95% 的方差不代表保留了 95% 的分類相關資訊，有時用於區分類別的特徵方差較小（如微小但關鍵的色調差異），反而可能被截掉。因此在有監督學習場景中，應同時以下游任務的指標（如分類準確率）評估降維效果，而不僅依賴解釋方差比。
常見問題
選擇保留多少主成分時，解釋方差比要達到多少才夠？
沒有通用的標準門檻，取決於應用場景。在資料探索性分析中，選擇能解釋 70-80% 變異量的主成分，通常足以發現主要結構。在機器學習特徵工程中，保留能解釋 90-95% 的主成分是常見做法，兼顧資訊保留與維度壓縮。在基因體學、神經影像等高噪音領域，即使保留 60-70% 的方差也可能已經去除了大量噪音，反而有助於提升模型泛化能力。若下游任務對精度要求高，可以系統地測試不同主成分數量下的任務指標，選取模型表現開始趨於平緩的那個點。建議同時繪製碎石圖和累積解釋方差比曲線，兩者結合判斷，不要只依賴單一門檻值。
為什麼視覺化時通常取前兩個主成分？這樣做有什麼限制？
取前兩個主成分（PC1 和 PC2）是因為人眼最容易理解二維散點圖，且 PCA 保證前兩個成分是解釋方差最多的兩個方向，若資料存在明顯的低維結構，這兩個成分通常能捕捉最重要的模式。限制在於：第一，若資料需要更高維度才能表達，二維視覺化可能嚴重失真，不同類別可能在二維中重疊，但在更高維空間其實是可分的；第二，PCA 是線性降維，無法捕捉非線性結構，這時 t-SNE 或 UMAP 可能提供更好的視覺化效果；第三，解釋方差比低的視覺化可信度較低，應在圖表中標明 PC1 和 PC2 分別解釋了多少方差，讓讀者判斷這個視覺化代表性如何。
Explained Variance Ratio 與 R² 有什麼關係？
兩者概念相近但應用場景不同。迴歸分析中的 R²（決定係數）衡量一個迴歸模型能解釋目標變數變異量的比例，反映模型對因變數的解釋能力。PCA 中的 Explained Variance Ratio 則衡量主成分能解釋原始多維資料總變異量的比例，沒有明確的「目標變數」，是無監督的。在 Principal Component Regression（PCR）中兩者都會出現：先用 PCA 的 Explained Variance Ratio 選取主成分，再用選定的主成分做迴歸並計算 R²。兩者的數學形式相似（均為 SSR/SST 形式），但解讀對象不同：Explained Variance Ratio 描述降維對多維輸入的保留程度，R² 描述模型對單一輸出的預測能力。