碎石圖（Scree Plot）是什麼？

在主成分分析（PCA）中，以折線圖呈現各主成分解釋變異量的視覺化工具，用於判斷應保留的主成分數量。

碎石圖（Scree Plot）由 Raymond Cattell 於 1966 年首先提出，原本用於心理測量學的因子分析，後來成為主成分分析（PCA）與其他降維方法中不可或缺的視覺輔助工具。

背景：為什麼需要碎石圖

在主成分分析中，原始特徵被轉換為按解釋變異量降序排列的主成分（PC），每個主成分對應一個特徵值（Eigenvalue），代表它所解釋的總變異量大小。在實際應用中，我們不會保留所有主成分（保留全部等同不降維），而是選取前 k 個主成分來捕捉數據中最主要的信息，同時丟棄代表雜訊的低解釋力主成分。問題在於：應該保留幾個主成分（k = ？）碎石圖是回答這個問題的核心視覺工具。

碎石圖的構成

• X 軸：主成分編號（1, 2, 3, ...），按解釋變異量從大到小排列
• Y 軸：對應的特徵值（Eigenvalue）或累積/個別解釋變異比例（Explained Variance Ratio）
• 曲線形狀：通常呈現左側急降、右側趨平的「L 形」或「手肘形」

「碎石（Scree）」的比喻來自山地地形：左側的急降坡面代表含有信息的主成分，右側趨平的碎石堆代表雜訊主成分。

肘部法則（Elbow Method）

最常用的判斷策略：找到曲線從「急降」轉為「趨平」的轉折點（肘部），保留肘部之前（含肘部）的主成分。若曲線在第 3 個主成分後趨於平緩，則保留 3 個主成分。

但肘部法則存在主觀性：不同人對「肘部」的判斷可能不同，特別是曲線沒有明顯轉折點時。可搭配其他判斷標準：

其他選擇主成分數量的判斷標準

1. Kaiser 準則（特徵值 > 1）：在標準化數據的 PCA 中，保留特徵值大於 1 的主成分（因為每個原始變數的特徵值為 1，保留解釋力超過單一變數的主成分）。適合探索性分析，但可能保留過多主成分。
2. 累積解釋變異比例門檻：保留累積解釋變異比例達到某一閾值（常見選擇為 80%、90%、95%）所需的最少主成分數。此方法直觀且有明確的業務意義（如「保留 90% 的數據信息」）。
3. 平行分析（Parallel Analysis）：模擬與原始數據相同規模的隨機數據的特徵值分布，保留特徵值顯著大於隨機數據的主成分。比 Kaiser 準則更嚴謹。
4. 下游任務效能：直接在下游模型（如分類器）中比較不同 k 值的交叉驗證效能，以效能最佳的 k 值為準。

Python 實作範例

from sklearn.decomposition import PCA
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

### pca = PCA()

pca.fit(X_scaled)

# 個別解釋變異比例
explained_variance_ratio = pca.explained_variance_ratio_

# 繪製碎石圖
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(range(1, len(explained_variance_ratio)+1), 
         explained_variance_ratio, 'bo-')
plt.xlabel('主成分編號')
plt.ylabel('解釋變異比例')
plt.title('碎石圖（Scree Plot）')

# 同時繪製累積解釋變異曲線
cumulative = np.cumsum(explained_variance_ratio)
plt.plot(range(1, len(cumulative)+1), cumulative, 'r--', label='累積')
### plt.legend()

### plt.show()

使用場景

• PCA 降維：在特徵工程中選擇 PCA 的最佳維度，用於機器學習模型的輸入
• 因子分析（Factor Analysis）：在心理測量、市場研究中確定潛在因素的數量
• 文字主題建模：LSA（Latent Semantic Analysis）中選擇主題數量
• 推薦系統（Collaborative Filtering）：矩陣分解（SVD）的降秩選擇

常見誤解

• 碎石圖是輔助決策工具，不是唯一標準。最終的 k 值選擇應結合業務需求、下游效能與計算資源。
• 碎石圖只適用於線性降維方法（PCA、Factor Analysis）。非線性方法（t-SNE、UMAP）沒有對應的碎石圖。
• 碎石圖顯示的「轉折點」在實際數據中可能並不明顯，此時建議優先使用累積解釋變異比例（如保留 90%）作為更客觀的標準。