平均絕對誤差（Mean Absolute Error）

核心概念

平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）是評估迴歸模型預測精度的重要指標。其核心概念圍繞著以下幾點：

• 絕對誤差： MAE 計算的是每個預測值與實際值之間的差的絕對值。絕對值確保所有誤差都為正數，避免正負誤差相互抵消。
• 平均值： MAE 將所有絕對誤差加總後，除以樣本總數，得到平均絕對誤差。這個平均值代表了模型預測的整體誤差水平。
• 一致性： MAE 的單位與原始資料的單位一致，這使得 MAE 的解釋更加直觀。例如，如果預測的是房價（單位：萬元），則 MAE 的單位也是萬元。
• 魯棒性： MAE 對於離群值（Outliers）具有一定的魯棒性，因為它使用絕對值，而不是平方值，來衡量誤差。這使得 MAE 不容易受到極端值的影響。

運作原理

MAE 的計算公式如下：

MAE = (1/n) * Σ |yᵢ - ŷᵢ|

其中：

• n 是樣本總數。
• yᵢ 是第 i 個實際值。
• ŷᵢ 是第 i 個預測值。
• Σ 表示求和。
• | | 表示絕對值。

計算步驟：

1. 計算每個樣本的絕對誤差： 對於每個樣本，計算預測值與實際值之間的差的絕對值。
2. 加總所有絕對誤差： 將所有樣本的絕對誤差加總起來。
3. 計算平均值： 將絕對誤差的總和除以樣本總數，得到平均絕對誤差。

範例：

假設我們有一個包含 5 個樣本的資料集，其中實際值和預測值如下：

樣本	實際值 (yᵢ)	預測值 (ŷᵢ)
1	10	12
2	15	13
3	20	18
4	25	27
5	30	28

1. 計算每個樣本的絕對誤差：
   • |10 - 12| = 2
   • |15 - 13| = 2
   • |20 - 18| = 2
   • |25 - 27| = 2
   • |30 - 28| = 2
2. 加總所有絕對誤差：
   • 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
3. 計算平均值：
   • 10 / 5 = 2

因此，這個模型的 MAE 為 2。

實際應用

MAE 在迴歸模型的評估中被廣泛應用，例如：

• 房價預測： 評估房價預測模型的準確性。
• 銷售額預測： 評估銷售額預測模型的準確性。
• 股票價格預測： 評估股票價格預測模型的準確性。
• 天氣預報： 評估天氣預報模型的準確性。
• 需求預測： 評估需求預測模型的準確性。

MAE 也可以用於比較不同迴歸模型的性能。通常，MAE 越小的模型，其預測精度越高。

常見誤區

在使用 MAE 時，需要注意以下幾個常見誤區：

• MAE 無法提供誤差方向的信息： MAE 只衡量誤差的大小，而忽略了誤差的方向（正或負）。因此，MAE 無法區分模型是傾向於高估還是低估實際值。
• MAE 對所有誤差都給予相同的權重： MAE 對所有誤差都給予相同的權重，這意味著較大的誤差和較小的誤差對 MAE 的影響相同。在某些情況下，我們可能希望對較大的誤差給予更高的權重。
• MAE 不可微分： MAE 在零點處不可微分，這使得 MAE 在某些最佳化演算法中難以使用。例如，梯度下降法需要計算梯度，而 MAE 在零點處沒有梯度。
• MAE 的值取決於資料的尺度： MAE 的值取決於資料的尺度。例如，如果資料的單位是米，則 MAE 的值會比資料的單位是厘米時要小。因此，在比較不同資料集的 MAE 時，需要考慮資料的尺度。

MAE 與其他評估指標的比較：

• 均方誤差 (MSE)： MSE 計算的是預測值與實際值之間差異的平方的平均數。MSE 對於離群值更加敏感，因為它使用平方值來衡量誤差。MSE 可微分，因此更容易在最佳化演算法中使用。
• 均方根誤差 (RMSE)： RMSE 是 MSE 的平方根。RMSE 的單位與原始資料的單位一致，這使得 RMSE 的解釋更加直觀。RMSE 也對離群值更加敏感。
• R 平方 (R²)： R² 衡量的是模型解釋資料變異的能力。R² 的值介於 0 和 1 之間，值越大表示模型解釋資料變異的能力越強。R² 不受資料尺度的影響。

總結：

MAE 是一種簡單易懂且常用的迴歸模型評估指標。它計算的是預測值與實際值之間差異的絕對值的平均數。MAE 對於離群值具有一定的魯棒性，但無法提供誤差方向的信息，且對所有誤差都給予相同的權重。在使用 MAE 時，需要注意其局限性，並結合其他評估指標一起使用，以更全面地評估模型的性能。